Infinito

Casi en cualquier lugar que fijemos la vista o nuestra atención, lo inaccesible se hace presente, esto ocurre simplemente porque no podemos apreciar con nuestros sentidos todas las texturas del objeto en atención, o bien es por que esa idea se nos escapa inexorablemente. No es un tema nada de original, ni tampoco nuevo el discutir algunos recovecos que se esconden en una noción que tiene ambas características, el ser objeto, el ser idea, infinito. Es una de las nociones más atávicas que acompaña a la especie humana, mirar el basto cielo, el manto celeste, ha sido el espejo de nuestras reflexiones, cada humano se ha mirado en este espejo y de seguro se ha preguntado una y otra vez que se esconde allá afuera. La ciencia, que se ha nutrido desde el pensamiento de muchos sabios, nos ha permitido acotar las respuestas a esta permanente reflexión.

Creo que un bueno punto de partida es discutir la relación entre el infinito y los números, estos últimos entendidos como la más clásicas de las entidades platónicas de la matemática. Los números en su génesis son la más simple de las abstracciones que hemos hecho de nuestro entorno. A partir de estas entidades, hemos descolgado todas las lucubraciones posibles, y así todos los eventos científicos, la ciencia en general, le siguen en progresión.  Los números no existen por si solos, sino cohabitan en una estructura,  quiero decir que los números sin sus operaciones más elementales carecen de todo sentido, dicha estructura los alberga y provee de existencia. Lo sorprendente es constatar que fueron transversalmente naturales a diversas civilizaciones y culturas, y que entre ellas no necesariamente hubo interacción alguna, todas encontraron en estos un lenguaje que les permitiese describir y manipular su entorno. En esto último ocurre algo trascendental y que quizás marca el destino de nuestra civilización humana, con estas estructuras numéricas se comenzó a  interpretar y entender en definitiva el medio en que nos desenvolvemos, es así como sistemas cada vez más complejos y robustos nos llevan aun más allá en esa compresión sin limites del universo.

El desarrollo de las estructuras numéricas no esta exento de conflictos, una expresión de estos son las paradojas, que por si solas cuestionan nuestras percepciones y la coherencia del modelo de la realidad propuesto.  Hablábamos de como los números carecen de sentido sin la estructura, sin las operaciones que los relacionan y que estos nos dan un sentido de nuestras interpretaciones, al enriquecer estas estructuras, progresivamente aparecen paradojas tras paradojas las que tienen que ser resueltas para que  la coherencia del sistema se mantenga y así también de todas sus extensiones. En este sentido es como hemos visto la progresión de sistema numéricos: unitarios, ternarios, decimales; o bien conjunto de números: naturales, enteros, racionales, todos ellos siguen un orden cronológico adecuado, pero quizás el peldaño más significativo que hemos dado ha sido pasar desde los números racionales a la completitud de los números reales, es aquí donde el salto conceptual nos lleva al conflicto de las percepciones. A diferencia de las otras instancias, es aquí donde pasamos de lo discreto a lo infinito, cada número natural, entero, racional tiene una representación sintáctica finita, finitamente generada, lo que nos permite acceder al número de una u otra forma de manera eficiente. Esto no ocurre cuando enfrentamos un número irracional, no hay patrón ni esquema que permita representarlo numéricamente, por supuesto, si podemos definir propiedades que los caractericen, pero explicitarlos en su expansión decimal carece de sentido. Es así como nuestra percepción de infinito mete su cola en medio de lo que proponemos como modelo de representación de nuestro entorno.

Para terminar quiero reflexionar y proponer el siguiente puzzle que puede inquietar a más de alguien. Recordarán a \(\pi\) como aquella constante que describe el perímetro, o bien el área de una circunferencia, la que es una cantidad inconmensurable en si, con lo que quiero decir que es un número irracional al que no conocemos explicitamente del todo. Como ya mencionaba aquí, son bien conocidas propiedades de este número, pero de él no conocemos más allá de un cierto punto un prefijo de su expansión decimal, sin embargo, ha sido  una tarea instructiva para la implementación de supercomputadores el explorar dicha expansión decimal, claro esta, a sabiendas de que esto aportará tan sólo una aproximación. ¿Si no es posible conocer dicha expansión decimal, que podemos decir de ella? ¿Curioso no? Por ejemplo, es valido preguntarse que secuencias de decimales constituyen segmentos de esta expansión, o bien por el contrario ¿Qué secuencias de decimales no ocurre en dicha expansión? Si cada secuencia representa una cuota de información, ¿Qué información esta registrada en una expansión infinita de un número irracional? ¿Qué información queda excluida? Cada una de ellas almacena una cantidad infinita de información, cada una de ellas excluye una cantidad infinita de ella. Otro aspecto de este puzzle, es pensar dualmente, podríamos construir números irracionales que almacenen una determinada información y por ende, podríamos especular que en la expansión de un número irracional podemos almacenar toda la historia de la humanidad ¿Por qué no? O bien, podríamos almacenar la historia del universo, después de todo deberían existir un número finito de átomos que lo constituyen. ¿Cuál es la trampa detrás de estas preguntas ingenuas?